Question

如图，⊙O的内接△ABC是等边三角形，D是

BC

上任一点．
（1）求∠BDC的度数；
（2）判断DB、DC和DA之间的关系．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）直接根据圆内接四边形的性质即可得出结论；
（2）延长BF使DP=CD，连接CP，构造全等三角形来求解；

解答：（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵四边形ABDC内接于圆，
∴∠BDC=180°-60°=120°；

（2）猜想：DA=DB+DC．
证明：延长BD使PD=DC，连接CP，
∵四边形ABDC为圆内接四边形
∴∠BAC+∠BDC=180°．
又∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°
∴∠BDC=120°．
又∵∠BDC+∠CDP=180°
∴∠CDP=60°
∴△PCD是等边三角形．
∴∠P=60°=∠ADC．
在△BCP和△ACD中，
∵

∠P=ADC ∠PBC=∠DAC BC=AC

，
∴△BCP≌△ACD．
∴BP=AP．
∵BP=BD+PD=BP+CD，
∴DA=DB+DC．

点评：本题考查的是圆周角定理，根据题意构造出全等三角形是解答此题的关键．