Question

14．已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．
（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC=180°；
（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，试说明：EF=ED．

Answer 1

分析 （1）根据余角的性质得到∠DEC=∠BAC，由于∠DEC+∠BEC=180°，即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到∠EBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠ECB=$\frac{1}{2}∠$ACB，于是得到结论；
（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，由∠BAC=60°，得到∠BEC=90°+$\frac{1}{2}∠$BAC=120°，求得∠FEB=∠DEC=60°，根据角平分线的性质得到∠BEM=60°，推出△FBE≌△EBM，根据全等三角形的性质得到EF=EM，同理DE=EM，即可得到结论．

解答 解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，
∴∠DCE+∠DEC=∠DCE+∠FAC=90°，
∴∠DEC=∠BAC，∠DEC+∠BEC=180°，
∴∠BAC+∠BEC=180°；

（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠ECB=$\frac{1}{2}∠$ACB，∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=90°$+\frac{1}{2}$∠BAC；

（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，
∵∠BAC=60°，
∴∠BEC=90°+$\frac{1}{2}∠$BAC=120°，
∴∠FEB=∠DEC=60°，
∵EM平分∠BEC，
∴∠BEM=60°，
在△FBE与△EBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠EBM}\\{BE=BE}\\{∠FEB=∠MEB}\end{array}\right.$，
∴△FBE≌△EBM，
∴EF=EM，同理DE=EM，
∴EF=DE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．