Question

3．已知AB为⊙O的直径，P为AB上一点，C，D为圆上两点，且∠CPA=∠DPB，求证：C、D、P、O四点共圆．

Answer 1

分析 延长CP、DP分别交⊙O于E、F，连接BD、BF，作OM⊥DF与，ON⊥CE于N，由对顶角相等和已知条件得出∠BPE=∠DPB，由角平分线的性质得出OM=ON，证出DF=CE，可得DM=FM=$\frac{1}{2}$DF，EN=CN=$\frac{1}{2}$CE，得出DM=EN，由HL证明Rt△OPM≌Rt△OPN，得出PM=PN，因此PD=PE，由SAS证明△PBD≌△PBE，得出BD=BE，证出$\widehat{BD}=\widehat{BE}$，由圆周角定理得出∠BOD=∠DCE，证出∠DCE+∠POD=180°，即可得出结论．

解答 证明：延长CP、DP分别交⊙O于E、F，连接BD、BF、CD、OD，作OM⊥DF与，ON⊥CE于N，如图所示：
∵∠CPA=∠BPE，∠FPA=∠DPB，∠CPA=∠DPB，
∴∠BPE=∠DPB，
∴OM=ON，
∴DF=CE，
∴DM=FM=$\frac{1}{2}$DF，EN=CN=$\frac{1}{2}$CE，
∴DM=EN，
在Rt△OPM和Rt△OPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴PM=PN，
∴PD=PE，
在△PBD和△PBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PE}&{\;}\\{∠BPD=∠BPE}&{\;}\\{PB=PB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PBD≌△PBE（SAS），
∴BD=BE，
∴$\widehat{BD}=\widehat{BE}$，
∴∠BOD=∠DCE，
∵∠BOD+∠POD=180°，
∴∠DCE+∠POD=180°，
∴C、D、P、O四点共圆．

点评 本题考查了四点共圆的证法，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系等知识；由三角形全等证出BD=BE是解决问题的突破口．