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【题目】如图1,平行四边形ABCD中,ABAC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动,以P为圆心,PA为半径的⊙P与对角线AC交于A,E两点.

(1)如图2,当⊙P与边CD相切于点F时,求AP的长;

(2)不难发现,当⊙P与边CD相切时,⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点,随着AP的变化,⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化,若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的值的取值范围   

【答案】(1)AP=;(2)<AP<AP=5.

【解析】

(1)如图2所示,连接PF,在RtABC中,利用勾股定理求出AC=8,设AP=x,则DP=10﹣x,PF=x,由⊙P与边CD相切于点F,根据已知可推导得出DPF∽△DAC,根据相似三角形对应边成比例即可求得AP长;

(2)当⊙PBC相切时,设切点为G,如图3,利用面积法求出PG=然后分两种情况①⊙P与边AD、CD分别有两个公共点②⊙P过点A、C、D三点,分别讨论即可得.

1)如图2所示,连接PF,

RtABC中,由勾股定理得:AC==8,

AP=x,则DP=10﹣x,PF=x,

∵⊙P与边CD相切于点F,

PFCD,

∵四边形ABCD是平行四边形,

ABCD,

ABAC,

ACCD,

ACPF,

∴△DPF∽△DAC,

x=AP=

(2)当⊙PBC相切时,设切点为G,如图3,

SABCD=×6×8×2=10PG,

PG=

①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时,<AP<,即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4,

②⊙P过点A、C、D三点,如图4,P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4,

此时AP=5,

综上所述,AP的值的取值范围是:<AP<AP=5.

故答案为:<AP<AP=5.

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