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【题目】如图,在中,为直线上一点,点延长线上一点,且,连接

求证:

时,求的度数;

的外心,当点在直线上运动,且点恰好在内部或边上时,直接写出点运动的路径的长,

【答案】(1)见解析;(2):∠E=65°25°;(3

【解析】

1)(1)利用“边角边”证明即可;

2)分两种情况:点D在线段BC上时和点DBC延长线上时,利用全等三角形对应角相等,推出∠E=ADB,再根据等腰直角三角形的性质求出∠ACB=CAB=45°,根据外角性质求出∠ADB,即可解答;

3)过点BBF垂直AC,交ACF,作DC边的垂直平分线交BF于点P,过点FFGBC,交BC于点G,证明BFAC的垂直平分线,从而推出点P即为三角形CAD的外心,根据点恰好在内部或边上,确定点运动的路径为BF,求BF的长即可.

(1)∵∠ABC=90°

∴∠CBE=90°=ABC

AB=CB BE=BD

ABD≌△CBE

2)当点D在线段BC上时,

ABD≌△CBE

∴∠E=ADB

AB=CB,∠ABC=90°

∴∠ACB=BAC=45°

∴∠E=ADB=45°+20°=65°

当点DBC延长线上时,如图,

∵△ABD≌△CBE

∴∠BEC=∠ADB

∵AB=CB,∠ABC=90°

∴∠ACB=∠BAC=45°

∴∠BEC=∠ADB=45°-20°=25°

综上:∠E=65°25°.

3)如图,过点B作BF垂直AC,交ACF,作DC边的垂直平分线交BF于点P,过点FFGBC,交BC于点G

BFAC

BFAC的垂直平分线,

∴点P即为三角形CAD的外心.

PBF上一点,

由题意可知点恰好在内部或边上,

∴点运动的路径为BF

BFAC的垂直平分线,

BF=

即点P的运动路径长为

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2)如果把以上“问题”中的条件“∠B45°”去掉,再将“∠BAE90°”改为“∠BAEn°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.

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型车

型车

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