Question

8．如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连结BE、DG．
（1）求证：BE=DG，BE⊥DG；
（2）连接BD、EG、DE，点M、N、P分别是BD、EG、DE的中点，连接MP，PN，MN，求证：△MPN是等腰直角三角形；
（3）若AB=4，EF=2$\sqrt{2}$，∠DAE=45°，直接写出MN=2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△BEA与△DAG全等，再利用全等三角形的性质证明即可；
（2）利用三角形中位线定理证得△MPN是等腰直角三角形；
（3）过点G作GH垂直于DA的延长线于点H，利用勾股定理得出DG，进一步得出PN，利用勾股定理得出结果．

解答 （1）证明：∵正方形ABCD和正方形AEFG，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAD+∠DAE=∠EAG+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAG，
∵在△BEA与△DAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△DAG（SAS），
∴BE=DG，∠ADG=∠ABE，
∴∠BOD=∠BAD=90°，
∴BE⊥DG；

（2）证明：如图，

由三角形中位线定理可得：MP∥BE，MP=$\frac{1}{2}$BE，
PN∥DG，PN=$\frac{1}{2}$DG，
∴PM=PN，∠MPN=∠BOD=90°，
即△MPN是等腰直角三角形；

（3）解：如图，

过点G作GH垂直于DA的延长线于点H，
∵∠DAE=45°，∠EAG=90°，
∴∠HAG=45°，
∵EF=2$\sqrt{2}$，
∴AH=HG=2，
∵AB=4，
∴DH=6，
∴DG=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴NP=MP=$\sqrt{10}$，
∴MN=2$\sqrt{5}$．

点评 此题考查三角形全等的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，结合图形和数据，灵活作出辅助线解决问题．