Question

17．阅读材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰的值．
解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰，将等式两边同时乘以2得：2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²¹
将下式减去上式得2S-S=2²¹-1
即S=2²¹-1
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰=2²¹-1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶
（2）1+2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ（其中n为正整数）
（3）1+5+5²+5³+5⁴+…+5ⁿ（其中n为正整数）

Answer 1

分析 （1）设原式=S，两边乘以2变形得到关系式，两式相减即可求出S；
（2）设原式=S，两边乘以2变形得到关系式，两式相减即可求出S；
（3）设原式=S，两边乘以5变形得到关系式，两式相减即可求出S．

解答 解：（1）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶，
两边乘以2得：2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁷，
下式减去上式得：S=2²⁰¹⁷-1；                          

（2）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ
两边乘以2得：2S=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹，
下式减去上式得：S=2ⁿ⁺¹-1；                            

（3）设S=1+5+5²+5³+5⁴+…+5ⁿ，
两边乘以5得：5S=5+5²+5³+5⁴+…+5ⁿ⁺¹，
下式减去上式得：4S=5ⁿ⁺¹-1，即S=$\frac{{5}^{n+1}-1}{4}$，
则1+5+5²+5³+5⁴+…+5ⁿ=$\frac{{5}^{n+1}-1}{4}$．

点评 本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，找出数字的变化特点．