Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1= （x＞0）与y2=﹣ （x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．

（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；
（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；
（3）作边长为2的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意知，点A（a， ），B（b，﹣ ），

∵AB∥x轴，

∴ ，

∴a=﹣b；

∴AB=a﹣b=2a，

∴S△OAB= 2a =3

（2）

解：由（1）知，点A（a， ），B（b，﹣ ），

∴OA2=a2+（ ）2，OB2=b2+（﹣ ）2，

∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，

∴OA=OB，

∴OA2=OB2，

∴a2+（ ）2=b2+（﹣ ）2，

∴a2﹣b2=（ ）2﹣（ ）2，

∴（a+b）（a﹣b）=（ + ）（ ﹣ ）= ，

∵a＞0，b＜0，

∴ab＜0，a﹣b≠0，

∵a+b≠0，

∴1= ，

∴ab=3（舍）或ab=﹣3，

即：ab的值为﹣3；

（3）

解：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点．

理由：如图，

∵a≥3，AC=2，

∴直线CD在y轴右侧且平行于y轴，

∴直线CD一定与函数y1= （x＞0）的图象有交点，

∵四边形ACDE是边长为2的正方形，且点D在点A（a， ）的左上方，

∴C（a﹣2， ），

∴D（a﹣2， +2），

设直线CD与函数y1= （x＞0）相交于点F，

∴F（a﹣2， ），

∴FC= ﹣ = ，

∴2﹣FC=2﹣ = ，

∵a≥3，

∴a﹣2＞0，a﹣3≥0，

∴ ≥0，

∴2﹣FC≥0，

∴FC≤2，

∴点F在线段CD上，

即：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点．

【解析】（1）先判断出a=﹣b，即可得出AB=2a，再利用三角形的面积公式即可得出结论；（2）利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出直线CD和函数y1= （x＞0）必有交点，根据点A的坐标确定出点C，F的坐标，进而得出FC，再判断FC与2的大小即可．
【考点精析】通过灵活运用反比例函数的性质和等腰三角形的判定，掌握性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等即可以解答此题．