Question

如图，C和D分别是⊙O的半径OA和弦AB上的点，且CD⊥OA，点E在CD的延长线上，且ED=EB．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）如图2，已知AC=2OC，△DEB为等边三角形，若BE=

3

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：综合题

分析：（1）连接OB，如图1所示，由CD与OA垂直，得到∠ACD为直角，进而得到两个角互余，由OA=OB，ED=EB，利用等边对等角分别得到两对角相等，等量代换得到OB与BE垂直，由OB为圆的半径，即可得证；
（2）连接OB，过O作OF垂直于AB，利用垂径定理得到F为AB中点，由AC=2OC，设AC=2k，OC=k，表示出半径OA=3k，由三角形BDE为等边三角形，得到三条边相等，三个角为60度，得到∠OAF为30度，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半表示出OF，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，由AD+DB表示出AB，进而表示出FB，在直角三角形OBF中，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出圆O的半径．

解答：（1）证明：连接OB，如图1所示，
∵CD⊥OA，
∴∠ACD=90°，
∴∠OAB+∠ADC=90°，
∵DE=BE，OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO，∠EBD=∠EDB=∠ADC，
∴∠ABO+∠EBD=90°，
即OB⊥BE，
∵OB为半径，
∴BE与⊙O相切；

（2）解：过O作OF⊥AB，交AB于点F，得到F为AB中点，连接OB，如图2所示，
由AC=2OC，且AC+CO=OA，设AC=2k，则OC=k，OA=3k，
∵△BDE为等边三角形，
∴BD=BE=DE=

3

，∠BDE=∠ADC=60°，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
∴∠BAF=30°，AD=

AC

cos30°

=

4 3

3

k，
∴AB=AD+DB=

3

+

4 3

3

k，
∴FB=

1

2

AB=

3

2

+

2 3

3

k，
在Rt△AOF中，∠OAF=30°，
∴OF=

1

2

OA=

3

2

k，
在Rt△BOF中，根据勾股定理得：OB²=OF²+FB²，
即（3k）²=

9

4

k²+（

3

2

+

2 3

3

k）²，
整理得：（5k-3）（13k+3）=0，
解得：k=

3

5

或k=-

3

13

（舍去），
则圆的半径为3k=

9

5

．

点评：此题考查了切线的判定，锐角三角函数定义，勾股定理，垂径定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．