Question

如图①，已知线段AB=8，以AB为直径作半圆O，再以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D．
（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；
（2）连接PC，当∠ACP=60°时，求弧AD的长；
（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）AP=PD．理由如下：如图①，连接OP．利用圆周角定理知OP⊥AD．然后由等腰三角形“三合一”的性质证得AP=PD；
（2）如图①，连接PC、OD．通过证PC∥OD推知∠AOD=∠ACP=60°，所以根据弧长公式得到：弧AD的长=

60×π×4

180

=

4

3

π；
（3）分类讨论：点E落在线段OA和线段OB上，这两种情况下的y与x的关系式．这两种情况都是根据相似三角形（△APO∽△AED）的对应边成比例来求y与x之间的函数关系式的．

解答：解：（1）AP=PD
理由如下：连接OP、OD．
∵OA是半圆C的直径，
∴∠APO=90°，即OP⊥AD．
又∵OA=OD，
∴AP=PD；

（2）如图①，连接PC、OD．
由（1）知，AP=PD．
又∵AC=OC，
∴PC∥OD，
∴∠AOD=∠ACP=60°，
∵AB=8，∴OA=4
∴弧AD的长=

60×π×4

180

=

4

3

π；

（3）分两种情况：①如图②，当点E落在OA上（即0＜x≤2

2

时）
连接OP，则∠APO=∠AED
又∵∠A=∠A
∴△APO∽△AED
∴

AP

AE

=

AO

AD

∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4-y
∴

x

4-y

=

4

2x

∴y=-

1

2

x²+4（0＜x≤2

2

）    
②如备用图，当点E落在线段OB上（即2

2

＜x＜4）时，连接OP
同①可得，△APO∽△AED
∴

AP

AE

=

AO

AD

∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y
∴

x

4+y

=

4

2x

∴y=

1

2

x²-4（2

2

＜x＜4）．

点评：本题综合考查了圆周角定理、圆的切线的性质以及相似三角形的判定与性质．解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解．解答几何问题时，要数形结合，使抽象的问题变得形象化，降低题的难度与梯度．