Question

5．如图，二次函数y=$\frac{4}{3}$x²+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当P，Q运动t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状并求说明理由；
（3）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A，B点坐标代入函数y=$\frac{4}{3}$x²+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标；
（2）根据P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，根据对称的性质得到AP=DP，AQ=DQ，求得四边形四边都相等，即可得到结论；
（3）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y=$\frac{4}{3}$x²+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=\frac{4}{3}×9+3b+c}\\{0=\frac{4}{3}×1-b+c}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{8}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4．
∴C（0，-4）；

（2）四边形APDQ为菱形，理由如下：
如图1，D点关于PQ与A点对称，过点Q作FQ⊥AP于F，
∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，
∴AP=AQ=QD=DP，
∴四边形AQDP为菱形；

（3）存在．
如图2，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，
∵A（3，0），B（-1，0），C（0，-4），O（0，0），
∴AB=4，OA=3，OC=4，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，
∴AQ=4．
∵QD∥OC，
∴$\frac{QD}{OD}$=$\frac{AD}{AO}=\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{QD}{4}=\frac{AD}{3}=\frac{4}{5}$，
∴QD=$\frac{16}{5}$，AD=$\frac{12}{5}$．
①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，
设AE=x，则EQ=x，DE=AD-AE=|$\frac{12}{5}$-x|，
∴在Rt△EDQ中，（$\frac{12}{5}$-x）²+（$\frac{16}{5}$）²=x²，解得 x=$\frac{10}{3}$，
∴OA-AE=3-$\frac{10}{3}$=-$\frac{1}{3}$，
∴E（-$\frac{1}{3}$，0），
说明点E在x轴的负半轴上；
②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，
∵ED=AD=$\frac{12}{5}$，
∴AE=$\frac{24}{5}$，
∴OA-AE=3-$\frac{24}{5}$=-$\frac{9}{5}$，
∴E（-$\frac{9}{5}$，0）．
③当AE=AQ=4时，
1．当E在A点左边时，
∵OA-AE=3-4=-1，
∴E（-1，0）．
2．当E在A点右边时，
∵OA+AE=3+4=7，
∴E（7，0）．
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（-$\frac{1}{3}$，0）或（-$\frac{9}{5}$，0）或（-1，0）或（7，0）．

点评 本题考查了抛物线解析式的求解，考查了抛物线和直线交点的求解，考查了菱形的判定和菱形各边长相等的性质，考查了等腰直角三角形的性质，考查了平分线分线段成比例的性质，本题中用t表示点D的坐标是解题的关键．