Question

10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线l上，
（1）求抛物线l的解析式；
（2）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求点P的坐标；
（3）若抛物线l上有且只有三个点到直线AC的距离为n，求出n的值．

Answer 1

分析 （1）根据OA=OC=4OB，可得B、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据矩形的性质，可得EF与OD的关系，根据垂线段的性质，可得DF是中位线，根据中位线的性质，可得DF的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（3）根据平行线间的距离相等，可得PP₁∥BC∥P₂E，根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得k的值，根据线段的和差，可得CE的长，根据勾股定理，可得n的值．

解答 解：（1）由A（4，0），可知OA=4．
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（-1，0）．
设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是：y=-x²+3x+4；
（2）如图1，
连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，
则AC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴DF=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴点P的纵坐标是2，
当y=2时，-x²+3x+4=2，
解得x₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，
即P₁（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，2），P₂（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，2）；
（3）如图2，
CD⊥DE于E，PP₁∥BC∥P₂E，且P到BC的距离是n，P₂到BC的距离是n，
P₂E的解析式为y=-x+k，
联立P₂E与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+k}\\{y=-{x}^{2}+3x+4}\end{array}\right.$，
化简，得
x²-4x+k-4=0．方程有相等的两实根，得
△=（-4）²-4（k-4）=0，解得k=8，
P₂E的解析式为y=-x+8，
当x=0时，y=8，即E（0，8）；
CE=8-4=4，
等腰直角三角形CDE中，由勾股定理，得
CD²+DE²=CE²，
2CD²=16，
CD=2$\sqrt{2}$，
P到CD的距离n=2$\sqrt{2}$．
若抛物线l上有且只有三个点到直线AC的距离为n，n的值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用矩形的性质得出OD=EF是解题关键，又利用了三角形中位线的性质；利用平行线间的距离相等得出直线DE的解析式是解题关键．