Question

2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC至点E，使CE=AD，连接AE交CD于点F，过点F作AE的垂线交BC于点P，连接PA．
（1）图中有无全等三角形？如有，请你写出来；
（2）求证：PA=PE．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质得到∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，则可利用“ASA”判断△ADF≌△ECF；根据全等三角形的性质得AF=EF，再利用垂直得到∠AFP=∠EFP=90°，然后根据“SAS”可判断△AFP≌△EFP，
即图中有两对三角形全等，它们是：△ADF≌△ECF；△AFP≌△EFP；
（2）直接根据全等三角形的性质得到结论．

解答 （1）解：∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠E}\\{AD=EC}\\{∠D=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ECF；
∴AF=EF，
∵PF⊥AE，
∴∠AFP=∠EFP=90°，
在△AFP和△EFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=EF}\\{∠AFP=∠EFP}\\{PF=PF}\end{array}\right.$，
∴△AFP≌△EFP，
即图中有两对三角形全等，它们是：△ADF≌△ECF；△AFP≌△EFP；
（2）证明：∵△AFP≌△EFP，
∴PA=PE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；在应用全等三角形的性质时主要是得到对应角相等或对应线段相等．