Question

17．如图，直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），点M、N分别在y轴和x轴上，N点在B点右侧，且AM=BN．
（1）求S_△AOB；
（2）如图①，若点M在AO上，求证：CM=CN；
（3）如图②，若点M在y轴负半轴上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A（0，4），B（4，0），得到OA=OB=4，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）过M作MD∥X轴交AB于D，根据平行线的性质得到∠MDC=∠NBC，∠DMC=∠BNC，通过△AMD是等腰直角三角形，得到AM=MD，等量代换得到MD=BN，推出△CAM≌△CNB（ASA），根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）过M作MF⊥Y轴交AB的延长线于F，则MF∥X轴，根据平行线的性质得到∠BNC=∠FMC，∠NBC=∠F，根据△AMF是等腰直角三角形，得到AM=MF，等量代换得到MF=BN，推出△BNC≌△FMC，根据全等三角形的性质得到结论．

解答 解：（1）∵A（0，4），B（4，0），
∴OA=OB=4，
∴S△OAB=$\frac{1}{2}$•OA•OB=8；

（2）如图①，过M作MD∥X轴交AB于D，
∴∠MDC=∠NBC，∠DMC=∠BNC，
∵∠OAB=45°，
∴△AMD是等腰直角三角形，
∴AM=MD，
∵AM=BN，
∴MD=BN，
在△CAM与△CNB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MDC=∠CBN}\\{∠DMC=∠CNB}\\{MD=BN}\end{array}\right.$，
∴△CAM≌△CNB（ASA），
∴CM=CN；

（3）CM=CN成立；
理由：如图②，过M作MF⊥Y轴交AB的延长线于F，则MF∥X轴，
∴∠BNC=∠FMC，∠NBC=∠F，
∵∠OAB=45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM=MF，
∵AM=BN，
∴MF=BN，
在△BNC与△FMC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BNC=∠FMC}\\{∠NBC=∠F}\\{MF=BN}\end{array}\right.$，
∴△BNC≌△FMC，
∴CM=CN．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．