Question

13．已知抛物线y=ax²+bx+2与y轴交于点A，直线1经过A，B两点，且点B在抛物线的对称轴上，点B的坐标为（-1，0）．
（1）求直线l的表达式；
（2）若直线l与抛物线的一个交点的横坐标为-3，求抛物线的表达式．

Answer 1

分析 （1）由题意可知点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为（-1，0），然后利用待定系数法求解即可；
（2）利用抛物线的对称性可知抛物线经过点（-2，2），将x=-3代入直线解析式y=2x+2的解析式得y=-4，故此抛物线经过点（-3，-4），最后代入求解即可．

解答 解：（1）∵将x=0代入y=ax²+bx+2得y=2，
∴点A的坐标为（0，2）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，将点（0，2）、（-1，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$
解得：k=2，b=2．
∴直线AB的解析式为y=2x+2．
（2）∵将x=-3代入y=2x+2得：y=-4．
∴直线与抛物线的交点坐标为（-3，-4）．
∵点A的坐标为（0，2），抛物线的对称轴为x=-1，
∴抛物线经过点（-2，2）．
将（-3，-4）、（-2，2）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+2=-4}\\{4a-2b+2=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-4}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-2x²-4x+2．

点评 本题主要考查的是二次函数的性质，求得抛物线经过点的坐标是解题的关键．