Question

1．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点，P，Q分别在AB，BC上（P，Q与A，B，C都不重合），OP⊥OQ，OS⊥AQ交AB于S．下列结论：①BQ=BS；②PA=QB；③S是PB的中点；④$\frac{CQ}{PS}$的值为定值．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由Q是边长BC上的动点，得出①不正确；
由等腰直角三角形的性质和已知条件得出∠OAP=∠BOQ=∠C=∠ABO=∠OBQ=45°，OB=$\frac{1}{2}$AC=OA=OC，∠AOB=90°，证出∠AOP=∠BOQ，由ASA证明△AOP≌△BOQ，得出AP=BQ，OP=OQ，②正确；
过O作OM∥BC，则∠MOQ=∠OQC，证明B，P，O，Q四点共圆，由圆内接四边形的性质得出∠OQC=∠SPO=∠MOQ，证出∠POS=∠OQA，由ASA证明△POS≌△OQM，得出PS=OM，证明OM是△AQE的中位线，得出OM=$\frac{1}{2}$CQ，得出④正确；
同理证出△BOP≌△COQ，得出PB=CQ，得出PS=$\frac{1}{2}$PB，③正确；即可得出结论．

解答 解：∵Q是边长BC上的动点，
∴①不正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，O是AC的中点，
∴∠OAP=∠BOQ=∠C=∠ABO=∠OBQ=45°，OB=$\frac{1}{2}$AC=OA=OC，∠AOB=90°，
∵OP⊥OQ，
∴∠POQ=90°，
∴∠AOP=∠BOQ，
在△AOP和△BOQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠BOQ}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\\{∠OAP=∠OBQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BOQ（ASA），
∴AP=BQ，OP=OQ，②正确；
过O作OM∥BC，交AQ于M，如图所示：
∴∠MOQ=∠OQC，
∵∠ABC=∠POQ=90°，
∴B，P，O，Q四点共圆，
∴∠OQC=∠SPO=∠MOQ，
∵OS⊥AQ，
∴∠OQA+∠QOS=90°，
∵∠POS+∠QOS=90°，
∴∠POS=∠OQA，
在△POS与△OQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POS=∠OQA}&{\;}\\{OQ=OP}&{\;}\\{∠MOQ=∠SPO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△POS≌△OQM（ASA），
∴PS=OM，
∵AO=OC，
∴OM是△AQC的中位线，
∴OM=$\frac{1}{2}$CQ，
∴PS=$\frac{1}{2}$CQ，
∴$\frac{CQ}{PS}$=2，④正确；
∵△AOP≌△BOQ，同理：△BOP≌△COQ，
∴PB=CQ，
∴PS=$\frac{1}{2}$PB，
即S是PB的中点，③正确；
正确结论的个数有3个．
故选：C．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、四点共圆、圆内接四边形的性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，难度较大，证明三角形全等是解决问题的关键．