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【题目】已知:ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,⊙O过点B

分别与边ABBC相交于点DEEFAC,垂足为F.

1)求证:直线EF是⊙O的切线;

2)当直线DF与⊙O相切时,求⊙O的半径.

【答案】1)见解析;(2)⊙O的半径是

【解析】

1)证明:连接OE,则OB=OE

∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=C=60°.

∴△OBE是等边三角形.

∴∠OEB=C=60°.

OEAC

EFAC,∴∠EFC=90°

∴∠OEF=EFC=90°

EF是⊙O的切线;

2)连接DF,

DF是⊙O的切线, ∴∠ADF=90°

设⊙O的半径为r,则BE=rEC=AD=

RtADF中,∵∠A=60° AF=2AD=

FC=

RtCEF ,∵∠C=60° EC=2FC

=2),

解得

∴⊙O的半径是

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