Question

13．韦达定理：若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x₁、x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，阅读下面应用韦达定理的过程：
若一元二次方程-2x²+4x+1=0的两根分别为x₁、x₂，求x_1²+x_2²的值．
解：该一元二次方程的△=b²-4ac=4²-4×（-2）×1=24＞0
由韦达定理可得，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=-$\frac{4}{-2}$=2，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{-2}$=-$\frac{1}{2}$
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=2²-2×（-$\frac{1}{2}$）
=5
然后解答下列问题：
（1）设一元二次方程2x²+3x-1=0的两根分别为x₁，x₂，不解方程，求x_1²+x₂²的值；
（2）若关于x的一元二次方程（k-1）x²+（k²-1）x+（k-1）²=0的两根分别为α，β，且α²+β²=4，求k的值．

Answer 1

分析 （1）先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，再利用完全平方公式变形得到x_1²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，然后利用整体代入的方法计算即可；
（2）根据一元二次方程（k-1）x²+（k²-1）x+（k-1）²=0的两根分别为α，β，求出两根之积和两根之和的关于k的表达式，再将α²+β²=4变形，将表达式代入变形后的等式，解方程即可．

解答 解：（1）∵一元二次方程的△=b²-4ac=3²-4×2×（-1）=17＞0，
由根与系数的关系得：x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，
∴x_1²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$（-\frac{3}{2}）^{2}-2×（-\frac{1}{2}）$=$\frac{13}{4}$；

（2）由根与系数的关系知：$α+β=\frac{{k}^{2}-1}{k-1}$=-k-1，αβ=$\frac{（k-1）^{2}}{k-1}$=k-1，
α²+β²=（（α+β）²-2αβ=（k+1）²-2（k-1）=k²+3
∴k²+3=4，
∴k=±1，
∵k-1≠0
∴k≠1，
∴k=-1，
将k=-1代入原方程：-2x²+4=0，
△=32＞0，
∴k=-1成立，
∴k的值为-1．

点评 本题不仅考查了一元二次方程根与系数的关系，要注意，利用根与系数的关系解题，首先要注意方程有根．