【题目】如图,在直角坐标系中,O是坐标原点,直线AB交x轴于点A(﹣4,0),交y轴于点B,抛物线y=ax2+2ax+3(a≠0)经过A,B两点.P是线段AO上的一动点,过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C,交抛物线于点D.
(1)求a及AB的长.
(2)连结PB,若tan∠ABP=,求点P的坐标.
(3)连结BD,以BD为边作正方形BDEF,是否存在点P使点E恰好落在抛物线的对称轴上?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)连结OC,若S△BDC:S△OBC=1:2,将线段BD绕点D按顺时针方向旋转,得到DB′.则在旋转的过程中,当点A,B到直线DB′的距离和最大时,请直接写出点B′的坐标.
【答案】(1)a=﹣,AB的长为5;(2)点P的坐标(-1.5,0);(3)E恰好落在抛物线的对称轴上情况存在,点P的坐标为(,0)或(﹣4,0);(4)当点A,B到直线DB′的距离和最大时点B′的坐标为(﹣).
【解析】
(1)把点A(﹣4,0)代入抛物线y=ax2+2ax+3方程即可求解;
(2)如图,连接BP,作AH⊥PB于H,设点P的坐标为(x,0).则OP=﹣x,AP=4+x,BP=.可证明△APH∽△BPO,由相似三角形的对应边成比例,列方程并求解即可得到结论;
(3)如图所示,正方形DBFE的E点在抛物线的对称轴上,证明Rt△BHD≌Rt△END(AAS),用EN=BH即可求解;
(4)利用△BDC和△OBC是等高不等底的两个三角形,求出CDOB,求出D点坐标(m,),把点D的坐标代入二次函数方程yx2x+3可以求出D点坐标为:D(﹣2,3),而B(0,3)则BD∥x轴;在Rt△B'MD中,B'D=BD=2,tan∠B'DP,则:B'M,DM,即可求解.
(1)把点A(﹣4,0)代入抛物线y=ax2+2ax+3方程解得:a,二次函数的表达式为:yx2x+3,则B坐标为(0,3).
∵OA=4,OB=3,由勾股定理得:AB=5,则二次函数表达式为:yx2x+3,对称轴为x=﹣1.
答:a,AB的长为5.
(2)如图,连接BP,作AH⊥PB于H.在Rt△ABH中,AB=5,tan∠ABP,可得:AH,BH=2,设点P的坐标为(x,0),则OP=﹣x,AP=4+x,BP==.
∵∠APH=∠BPO,∠AHP=∠POB=90°,∴△APH∽△BPO,∴,∴,整理得:4x2+72x+99=0,∴(2x+3)(2x+33)=0,解得:x=-1.5,或x=-16.5(舍去),∴点P的坐标为(-1.5,0).
(3)如图所示,正方形DBFE的E点在抛物线的对称轴上,从E点作EN⊥PD,作DH⊥y轴,则Rt△BHD≌Rt△END(AAS),∴EN=BH,设P点坐标为(a,0),则D、E点的坐标分别为(a,a2a+3)、(﹣1,y),BH=3﹣(a2a+3)=EN=﹣1﹣a,解得:x,x=﹣4.
答:E恰好落在抛物线的对称轴上情况存在,点P的坐标为(,0)或(﹣4,0).
(4)当BD旋转到如图DB'的位置时,点A,B到直线DB'的距离和最大,此时AB⊥B'D,过点B'向PD和x轴作垂线,即B'M⊥DP,B'N⊥x轴,由A、B两点坐标可得AB的直线方程为:yx+3,则tan∠BAO,设P点坐标为(m,0),则C(m,m+3).
∵△BDC和△OBC是等高不等底的两个三角形,而1:2若S△BDC:S△OBC=1:2,∴CDOB,则D点y坐标=C点y坐标,即:D(m,),把点D的坐标(m,)代入二次函数方程yx2x+3,解得:m=﹣2,把m值代入,即D点坐标为:D(﹣2,3),P(﹣2,0).
∵B(0,3)则BD∥x轴,∴BD⊥DC.
∵BD⊥DC,AB⊥B'D,DP⊥AP,∴∠B'DP=∠BAO,∴tan∠B'DP=tan∠BAO.在Rt△B'MD中,B'D=BD=2,tan∠B'DP,则:B'M,DM,则:B'的横坐标为=xP﹣B'M=﹣2,B'的纵坐标为=yD﹣DM=3.
答:当点A,B到直线DB'的距离和最大时点B'的坐标为().
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某纺织厂生产的产品,原来每件出厂价为80元,成本为60元.由于在生产过程中平均每生产一件产品有0.5的污水排出,现在为了保护环境,需对污水净化处理后再排出.已知每处理1污水的费用为2元,且每月排污设备损耗为8000元.设现在该厂每月生产产品x件,每月纯利润y元:
(1)求出y与x的函数关系式.(纯利润=总收入-总支出)
(2)当y=106000时,求该厂在这个月中生产产品的件数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为数___________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①2a+b=0;②abc<0;③b2﹣4ac>0;④8a+c>0.其中正确的有( )
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点P为抛物线y=x2上一动点.
(1)若抛物线y=x2是由抛物线y=(x+2)2﹣1通过图象平移得到的,请写出平移的过程;
(2)若直线l经过y轴上一点N,且平行于x轴,点N的坐标为(0,﹣1),过点P作PM⊥l于M.
①问题探究:如图一,在对称轴上是否存在一定点F,使得PM=PF恒成立?若存在,求出点F的坐标:若不存在,请说明理由.
②问题解决:如图二,若点Q的坐标为(1.5),求QP+PF的最小值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某店只销售某种进价为40元/kg的产品,已知该店按60元kg出售时,每天可售出100kg,后来经过市场调查发现,单价每降低1元,则每天的销售量可增加10kg.
(1)若单价降低2元,则每天的销售量是_____千克,每天的利润为_____元;若单价降低x元,则每天的销售量是_____千克,每天的利润为______元;(用含x的代数式表示)
(2)若该店销售这种产品计划每天获利2240元,单价应降价多少元?
(3)当单价降低多少元时,该店每天的利润最大,最大利润是多少元?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,函数 y kx 与 y 的图象交于 A、B 两点,过 A 作 y 轴的垂线,交函数的图象于点 C,连接 BC,则△ABC 的面积为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.
(1)求证:△CDF∽△BGF;
(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com