Question

在汽车车轮修理厂，工人师傅常常用两个棱长相等的正方体卡住车轮．如图是其截面图（正方体棱长小于车轮半径）．
（1）若正方体之间的距离AB=80cm，正方体棱长为20cm，求车轮半径；
（2）设正方体棱长为a，AB=2b，请你推导求直径d的公式．

Answer 1

考点：垂径定理的应用,勾股定理

专题：

分析：（1）设切点为P，如图，小正方形的顶点分别为C，D，连接CD，OD，OP，OP与CD交于点E，由圆O与AB相切于P，根据切线的性质得到OP与AB垂直，又CD与AB平行，故OP与CD也垂直，根据垂径定理得到E为CD中点，构成直角三角形ODE，设出半径为r，根据DE=AP=40cm，EP=AD=20，分别表示出DE和OE，在直角三角形ODE中，根据勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到半径r的值，
（2）设切点为P，如图，小正方形的顶点分别为C，D，连接CD，OD，OP，OP与CD交于点E，由圆O与AB相切于P，根据切线的性质得到OP与AB垂直，又因为CD与AB平行，故OP与CD也垂直，根据垂径定理得到E为CD中点，构成直角三角形ODE，设出半径为r，根据DE=AP=b，EP=AD=a，分别表示出DE和OE，在直角三角形ODE中，根据勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到半径r的值，进而求出直径d的值．

解答：解：（1）如图，设切点为P，小正方形在圆上的顶点分别为C，D，
连接CD，OD，OP，OP与CD交于E，则OP⊥AB，
故OP⊥CD，E为CD中点，设半径为r，
在Rt△ODE中，DE=40cm，OD=r，OE=r-20，
∴根据勾股定理得：（r-20）²+40²=r²，
解得r=50cm．

（2）如图，设切点为P，小正方形在圆上的顶点分别为C，D，
连接CD，OD，OP，OP与CD交于E，则OP⊥AB，
故OP⊥CD，E为CD中点，设半径为r，
在Rt△ODE中，DE=b，OD=r，OE=r-a，
∴根据勾股定理得：（r-a）²+b²=r²，
∴r=

a2+b2

2a

，
则d=2r=

a2+b2

a

．

点评：此题考查了切线的性质，垂径定理，以及勾股定理，本题的关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用数形结合思想及方程的思想来解决问题．