Question

7．某小区有一块长20m，宽10m的长方形土地将要进行绿化，分别种植蝴蝶兰和金盏菊．已知蝴蝶兰和金盏菊的单位面积的费用之比为7：6．

（1）如图1，将长方形土地划分为三个小长方形，两端大小相同的两个小长方形都种植蝴蝶兰，中间的小长方形种植金盏菊．
①若DF=7m，则FH=6m，种植蝴蝶兰与种植金盏菊的面积的比为7：3，种植蝴蝶兰与种植金盏菊的费用之比为49：18；
②怎样划分这块土地（DF，FH分别为多少m），使种植蝴蝶兰和金盏菊的费用之比为3：1？
（2）为了使种植图案更加美观，进行如下设计：如图2，土地正中宽度相等的水平小长方形和竖直小长方形（图中阴影部分EF=GH）种植金盏菊，四角四个相同的小长方形都种植蝴蝶兰，其余条件不变，当种植蝴蝶兰和金盏菊的费用之比为3：1时，四角的每个小长方形面积为36m²．

Answer 1

分析 （1）①根据长方形的长的大小和面积公式解答即可；
②设DF=xm，则FH=（20-2x）m，根据题意列出方程解答即可；
（2）设EF=GH=x，根据题意列出方程解得x值后，再根据长方形的面积解答即可．

解答 解：（1）①因为将长方形土地划分为三个小长方形，两端大小相同的两个小长方形都种植蝴蝶兰，中间的小长方形种植金盏菊，
所以FH=20-7-7=6，种植蝴蝶兰与种植金盏菊的面积的比为2×7×10：6×10=7：3；
种植蝴蝶兰与种植金盏菊的费用之比7×7：6×3=49：18；
故答案为：6，7：3，49：18；
②设DF=xm，则FH=（20-2x）m，依题意，可列方程：
2x×10×7：[6×10×（20-2x）]=3：1，
解得：x=7.2．
即DF=7.2m，EF=5.6m，使种植蝴蝶兰和金盏菊的费用之比为3：1．
（2）设EF=GH为x，可得：
$7×4×\frac{20-x}{2}×\frac{10-x}{2}：[6×（20x+10x-{x}^{2}]=3：1$，
解得：x₁=2，x₂=28（舍去），
故x=2，
可得：小长方形面积=$\frac{20-2}{2}×\frac{10-2}{2}=36$．
故答案为：36．

点评 本题考查了四边形综合题，关键是列一元二次方程解实际问题的运用及一元二次方程的解法，解答时找准题目中的数量关系是关键．