Question

【题目】如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．

(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）M为（1，4）．

（2）P（1，2）．

【解析】

（1）利用B、C两点坐标求出抛物线的解析式，根据抛物线的性质得出M点坐标；

（2）根据A、B关于抛物线的对称轴对称得出AP=BP,那么△PAC的周长最小就是CPB在一条直线上，从而求出P点坐标。

（1）∵ 抛物线y = －x2+bx+c 过B（3，0）C（0，3）两点，

∴c=3, －9+3b+3=0，解得b=2 ．

∴ 抛物线的解析式为，

顶点M为（1，4）．

（2）∵ 点A、B关于抛物线的对称轴对称，

∴ 连结BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P

设对称轴与x轴交于点H，

∵ PH∥y轴，

∴ △PHB∽△CBO．

∴．

由题意得BH=2，CO=3，BO=3，

∴ PH=2．

∴ P（1，2）．