Question

17．如图，对线段AB进行如下操作：在AB上取点P₁，使得BP₁=$\frac{1}{2}$AB-1，再在BP₁上取点P₂，使得BP₂=$\frac{1}{2}$BP₁-1，…，如此继续下去：

（1）如果P₁P₂=1，求AB的长；
（2）如果AB=6，且P_n-1P_n=1，求n的值；
（3）如果P₂₀₁₄P₂₀₁₅=1，请直接写出AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据BP₁=$\frac{1}{2}$AB-1和BP₂=$\frac{1}{2}$BP₁-1，得出P₁P₂=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}AB-1）-1$，得出AB即可．
（2）由（1）可得P_n-1P_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}（\frac{1}{2}AB-1）-1$，再根据AB=6，P_n-1P_n=1，解答即可．
（3）由（1）可得P_n-1P_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}（\frac{1}{2}AB-1）-1$，再根据P₂₀₁₄P₂₀₁₅=1，解答即可．

解答 解：（1）因为BP₁=$\frac{1}{2}$AB-1，BP₂=$\frac{1}{2}$BP₁-1，
可得P₁P₂=BP₁-BP₂=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}AB-1）-1$=1，
解得：AB=10；
（2）由（1）可得P_n-1P_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}（\frac{1}{2}AB-1）-1$，
因为AB=6，P_n-1P_n=1，
所以可得：n=1；
（3）由（1）可得P_n-1P_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}（\frac{1}{2}AB-1）-1$，
因为P₂₀₁₄P₂₀₁₅=1，
所以可得：AB=2²⁰¹⁵+2．

点评 此题考查两点间的距离，关键是得出P_n-1P_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}（\frac{1}{2}AB-1）-1$的关系式．