Question

如图，抛物线y=x²-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标及c的值；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状．

Answer 1

分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中求出点A的坐标，再将点A的坐标代入抛物线的解析式y=x²-2x+c中，运用待定系数法即可求出c的值；
（2）先由抛物线的解析式得到点B的坐标，再求出AB、AD、BD三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可确定△ABD是直角三角形．

解答：解：（1）∵y=x²-2x+c，
∴顶点A的横坐标为x=-

-2

2

=1，
又∵顶点A在直线y=x-5上，
∴当x=1时，y=1-5=-4，
∴点A的坐标为（1，-4）．
将A（1，-4）代入y=x²-2x+c，
得-4=1²-2×1+c，解得c=-3．
故抛物线顶点A的坐标为（1，-4），c的值为-3；

（2）△ABD是直角三角形．理由如下：
∵抛物线y=x²-2x-3与y轴交于点B，
∴B（0，-3）．
当y=0时，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴C（-1，0），D（3，0）．
∵BD²=OB²+OD²=18，AB²=（4-3）²+1²=2，AD²=（3-1）²+4²=20，
∴BD²+AB²=AD²，
∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．

点评：本题考查了二次函数的性质，运用待定系数法确定其解析式，勾股定理及其逆定理等知识，综合性较强，难度适中．