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【题目】已知:在RtABC中,∠BAC=90°DBC的中点,EAD的中点.过点AAFBCBE的延长线于点F

1)求证:AEF≌△DEB

2)证明四边形ADCF是菱形;若AC=4AB=5,求菱形ADCF的面积.

3)当ABC满足什么条件时,四边形ADCF是正方形,请说明理由.

【答案】1)见解析;(2)菱形ADCF的面积=10;(3)当AB=AC时,四边形ADCF是正方形,理由见解析.

【解析】

1)根据AASAFE≌△DBE
2)利用全等三角形的对应边相等得到AF=BD.证出四边形ADCF是平行四边形,再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到AD=DC,从而得出四边形ADCF是菱形;由直角三角形ABC与菱形有相同的高,根据等积变形求出这个高,代入菱形面积公式可求出结论;

3)当AB=AC时和DBC的中点可得:ADBC,从而得出结论.

1)证明:①∵AFBC

∴∠AFE=∠DBE

EAD的中点,ADBC边上的中线,

AEDEBDCD

AEFDEB中,

∴△AEF≌△DEBAAS);

2)证明:由(1)知,AFE≌△DBE,则AFDB

DBDC

AFCD

AFBC

∴四边形ADCF是平行四边形,

∵∠BAC90°DBC的中点,EAD的中点,

ADDCBC

∴四边形ADCF是菱形;

连接DF,如图所示:

AFBDAFBD

∴四边形ABDF是平行四边形,

DFAB5

∵四边形ADCF是菱形,

∴菱形ADCF的面积=ACDF×4×510

3)当AB=AC时,四边形ADCF是正方形,

理由:∵AB=ACDBC的中点,

ADBC

又∵四边形ADCF是菱形,

∴菱形ADCF是正方形.

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金额(元)

人数

频率

10≤x20

40

0. 1

20≤x30

80

0. 2

30≤x40

a

0. 4

40≤x50

100

b

50≤x60

20

0. 05

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1a =__________b =__________

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