Question

【题目】在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，连接AA1，CC1．若△CBC1的面积为3，求△ABA1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点．在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】（1）∠CC1A1=60°；（2）；（3）线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值1．

【解析】

（1）由由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝30°，BC＝BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数；

（2）由△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABA1的面积；

（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．

（1）如图1，依题意得：△A1C1B≌△ACB，

∴BC1=BC，∠A1C1B=∠C=30°，

∴∠BC1C=∠C=30°，

∴∠CC1A1=60°；

（2）如图2，由（1）知：△A1C1B≌△ACB，

∴A1B=AB，BC1=BC，∠A1BC1=∠ABC，

∴∠ABA1=∠CBC1，，

∴△A1BA∽△C1BC，∴

∵，

∴；

（3）线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值1．

过程如下：①如图a，过点B作BD⊥AC，D为垂足．

∵△ABC为锐角三角形，

∴点D在线段AC上，

在Rt△BCD中，BD=6×=3，

当点P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=3﹣2=1；

②当点P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=6+2=8．

综上所述：线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值1．