Question

14．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是半圆上两点．AB=26，AC=10
（1）若点D是$\widehat{AB}$的中点，求AD的长；
（2）若点D是$\widehat{BC}$中点，求AD长．

Answer 1

分析 （1）由点D是$\widehat{AB}$的中点，AB是⊙O的直径，易证得△ABD是等腰直角三角形，又由AB=26，即可求得AD的长；
（2）首先连接OD，由点D是$\widehat{BC}$中点，可得OD垂直平分BC，然后由勾股定理求得BC的长，由三角形中位线的性质，求得OE的长，继而求得DE，BD，再由勾股定理，求得AD长．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠D=90°，
∵点D是$\widehat{AB}$的中点，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AB=26，
∴AD=AB•cos45°=26×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=13$\sqrt{2}$；

（2）连接OD交BC于E点，
∵AB为直径，
∴AC⊥BC，
又∵AB=26，AC=10，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=24，
∵点D是$\widehat{BC}$中点，
∴OD垂直平分BC，由此可得：OE=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴DE=OD-OE=13-5=8，
又∵BE=$\frac{1}{2}$BC=12，
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD²=BE²+DE²=208，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{2{6}^{2}-208}$=12$\sqrt{13}$．

点评 此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．