Question

【题目】如图，AB 为圆O的直径，PQ切圆O于T，AC⊥PQ于C，交圆O于D .

（1）求证：AT平分∠BAC ;

（2）若 AD =2，TC=，求圆O的半径.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2

【解析】

试题分析：（1）PQ切⊙O于T，则OT⊥PC，根据AC⊥PQ，则AC∥OT，要证明AT平分∠BAC，只要证明∠TAC=∠ATO就可以了.

（2）过点O作OM⊥AC于M，则满足垂径定理，在直角△AOM中根据勾股定理就可以求出半径OA.

试题解析：（1）连接OT；

∵PQ切⊙O于T，

∴OT⊥PQ，

又∵AC⊥PQ，

∴OT∥AC，

∴∠TAC=∠ATO；

又∵OT=OA，

∴∠ATO=∠OAT，

∴∠OAT=∠TAC，

即AT平分∠BAC.

（2）过点O作OM⊥AC于M，

∴AM=MD==1；

又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，

∴四边形OTCM为矩形，

∴OM=TC=，

∴在Rt△AOM中，

AO===2；

即⊙O的半径为2.