Question

17．我们知道，|7-（-3）|表示7与-3之差的绝对值，实际上也可理解为7与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）|7-（-3）|=10．
（2）若|x-3|+|x+7|=10，且x为整数，则x=-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3．
（3）由以上探索猜想：对于任何有理数x，|x-2|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．
（2）要求x的整数值可以进行分段计算，令x+7=0或x-3=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．
（3）根据（2）的方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．

解答 解：（1）原式=|7+3|
=10；

（2）令x+7=0或x-3=0时，则x=-7或x=3，
当x＜-7时，
-（x+7）-（x-3）=10，
-x-7-x+3=10，
x=-7；
当-7＜x＜3时，
（x+7）-（x-3）=7，
x+7-x+3=10，
10=10，
x=-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2；
当x＞3时，
（x+7）+（x-3）=10，
x+7+x-3=10，
2x=6，
x=3，
综上所述，符合条件的整数x有：-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3；

（3）有最小值．最小值为10，
理由是：∵丨x-2丨+丨x-6丨理解为：在数轴上表示x到2和6的距离之和，
∴当x在2与6之间的线段上（即2≤x≤6）时：
即丨x-2丨+丨x-6丨的值有最小值，最小值为6-2=4．

点评 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，分类探讨，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．