Question

已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形各边长相等的性质可得AB=AC，易证△ABE≌△CAD；
（2）由（1）中全等三角形的对应边、对应角相等得到BE=AD，∠ABE=∠CAD．易求得∠BPQ=∠BAC=60°，则BP=2PQ=12．所以AD=BE=BP+PE=12+2=14．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，

AB=CA  ∠BAC=∠C AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；

（2）解：∵△ABE≌△CAD
∴BE=AD，∠ABE=∠CAD，
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP
即∠BPQ=∠BAC=60°，
又∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=12．
∴AD=BE=BP+PE=12+2=14．

点评：本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中求证△ABE≌△CAD是解题的关键．