如图.在矩形OABC中.OA.OC两边分别在x轴y轴的正半轴上.OA=3.OC=2.过OA边上的D点.沿着BD翻折△ABD.点A恰好落在BC边上的点E处.反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点E与BD相交于点F.抛物线y=ax2+bx+2经过点E.F．(1)求反比例函数的解析式,(2)求抛物线的解析式,(3)连接OE.OF.EF.点M是抛物线上一动点.是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．

如图，在矩形OABC中，OA、OC两边分别在x轴y轴的正半轴上，OA=3，OC=2，过OA边上的D点，沿着BD翻折△ABD，点A恰好落在BC边上的点E处，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点E与BD相交于点F，抛物线y=ax²+bx+2经过点E、F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）连接OE、OF、EF，点M是抛物线上一动点，是否存在点M，使△MOE的面积与△OEF相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）求出E点坐标，代入反比例函数解析式即可；
（2）求出BD解析式，与把y=$\frac{2}{x}$组成方程组，求出F点坐标，把E（1，2），F（2，1）分别代入解析式，得函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2．
（3）作OM∥EF，求出OM解析式得到M点坐标，求出OF、EM解析式，判读出OF∥EM，得到四边形OFEM为平行四边形，△MOE的面积与△OEF相等．把M（-1，1）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2得，1=-1，则M在抛物线上．再求出过M平行于OE的直线与抛物线的交点，以及过点F平行于OE的直线与抛物线的交点，即可解决问题．

解答解：（1）由翻折可知，AD=DE=OC=2，
则OD=3-2=1，E点坐标为（1，2），D（1，0），
k=1×2=2，
反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$；
（2）设BD解析式为y=kx+b，
把B（3，2），D（1，0）分别代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}3k+b=2\\ k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-1\end{array}\right.$，
故函数解析式为y=x-1；
把y=$\frac{2}{x}$和y=x-1组成方程组得，$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{x}\\ y=x-1\end{array}\right.$，
解得x²-x-2=0，
x₁=-1（舍去），x₂=2．
得F点坐标为（2，1），
把E（1，2），F（2，1）分别代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}4a+2b+2=1\\ a+b+2=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$．
故函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2．
（3）设EF解析式为y=ax+b，
把E（1，2），F（2，1）分别代入解析式得$\left\{\begin{array}{l}2a+b=1\\ a+b=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=3\end{array}\right.$，
函数解析式为y=-x+3，
作OM∥EF，
则OM解析式为y=-x，
将y=-x与y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2组成方程组得，$\left\{\begin{array}{l}y=-x\\ y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=-4\end{array}\right.$（舍），
得M（-1，1）；
设OF解析式为y=mx，把F（2，1）代入解析得m=$\frac{1}{2}$，
故函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
连接ME，设ME解析式为y=dx+e，
把M（-1，1），E（1，2）分别代入解析式得$\left\{\begin{array}{l}-d+e=1\\ d+e=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}d=\frac{1}{2}\\ e=\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
可知OF∥ME，
∴四边形OFEM为平行四边形，
∴△MOE的面积与△OEF相等．
把M（-1，1）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2得，1=-1，则M在抛物线上．
过点M平行于OE的直线为y=2x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标还可以为（-2，-1）．
过点F平行于OE的直线为y=2x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{Y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-13}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标还可以为（-5，-13），
把M（-1，1）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2得，1=-1，则M在抛物线上．
综上所述点M坐标（-1，1）或（-2，-1）或（-5，-13）．

点评本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求一次函数、二次函数解析式、翻折变换、平行四边形的判定与性质，综合性强，是一道好题．

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