Question

【题目】如图，已知点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD的中点，现有如下结论：①∠ABD=∠BDN；②MB=NB；③MB⊥NB；④S△ABM=S△BCN，其中正确的结论是 （只填序号）．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

试题分析：①由三角形内最多只有一个直角得出该结论不成立；

②通过证明△ABE≌△DBC得出AE=DC，根据直角三角形斜边上中线的特点，可得出结论成立；

③通过证明△ABM≌△DBN得出∠DBN=∠ABM，通过等量替换得出结论成立；

④由②中的三角形全等可知其面积也相等，故其面积的一半也相等，结论成立．

解：①∵∠ABD=∠DBC，且点B在线段AC上，

∴∠ABD=∠DBC=180°÷2=90°，

在△BDC中，∠DBC=90°

∴∠BDN=∠BDC＜90°（三角形中最多只有一个直角存在），

∴∠ABD≠∠BDN，

即①不成立．

②在直角△ABE与直角△DBC中，，

∴△ABE≌△DBC（SAS），

∴AE=DC，

又M，N分别是AE，CD的中点，

∴BM=AE，BN=DC，

∴BM=BN，

即②成立．

③在△ABM和△DBN中，，

∴△ABM≌△DBN，

∴∠DBN=∠ABM，

∴∠MBN=∠MBD+∠DBN=∠MBD+∠ABM=∠ABD=90°，

∴MB⊥NB，

即③成立．

④∵M，N分别是AE，CD的中点，

∴S△ABM=S△ABE，S△BCN=S△DBC，

由②得知，△ABE≌△DBC，

∴S△ABM=S△BCN，

即④成立．

故答案为：②③④．