Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，且，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．

（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）△BPD与△CQP是全等．理由见解析；（2）经过1秒或秒或秒时，△CPQ是等腰三角形.

【解析】

（1）经过2秒后，PB=4m，PC=6m，CQ=4m，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．

（2）可设点Q的运动时间为ts△CPQ是等腰三角形，则可知PB=2tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时△CPQ为等腰三角形，从而求得t的值．

（1）△BPD与△CQP是全等．理由如下：

当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm，

则CP=BC-BP=10-4=6cm，CQ=AC-AQ=12-8=4cm ，

∵D是AB的中点，∴BD=AB=×12=6cm，

∴BP=CQ，BD=CP；又∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C ；

在△BPD和△CQP中

∴△BPD≌△CQP（SAS）

（2）设当P，Q两点同时出发运动t秒时，有BP=2t，AQ=4t,

∴t的取值范围为0＜t≤3

则CP=10-2t，CQ=12-4t ,

∵△CPQ的周长为18cm，

∴PQ=18-（10-2t）-（ 12-4t）=6t-4

要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：

①当CP=CQ时，则有10-2t=12-4t，解得：t=1

②当PQ=PC时，则有6t-4=10-2t，解得：t=；

③当QP=QC时，则有6t-4=12-4t，解得：t=，

三种情况均符合t的取值范围．

综上所述，经过1秒或秒或秒时，△CPQ是等腰三角形.