Question

2．如图，矩形ABCD，点M、N分别在边AB、CD上，AB=3AM，点E在AD上，MN∥BC，把△DCE沿着CE折叠D对应点D′恰好落在MN上，若DE=1，折痕CE的长为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 过D′作FG∥AB交AD于F交BC于G，由MN∥BC，得到MN⊥AB，根据矩形的性质得到FG⊥MN，FG⊥AD，FG⊥BC，根据折叠的性质得到∠ED′C=∠CDE=90°，CD′=CD，由余角的性质得到∠FED′=∠GD′C，推出△EFD′∽△CGD′，根据相似三角形的性质得到$\frac{D′E}{D′C}=\frac{D′F}{CG}$，根据勾股定理得到CG=$\sqrt{D′{E}^{2}-D′{G}^{2}}$，由已知条件得到AB=3AM，于是得到$\frac{BM}{AB}$=$\frac{DG}{CD}=\frac{DG}{CD′}$=$\frac{2}{3}$，D′F=$\frac{1}{3}$D′C，求得CG=$\frac{\sqrt{5}}{3}$D′C，得到$\frac{D′E}{DC}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，即可得到结论．

解答 解：过D′作FG∥AB交AD于F交BC于G，
∵MN∥BC，
∴MN⊥AB，
∴FG⊥MN，FG⊥AD，FG⊥BC，
∵把△DCE沿着CE折叠D对应点D′恰好落在MN上，
∴∠ED′C=∠CDE=90°，CD′=CD，
∴∠FD′E+∠GD′C=90°，∠FD′E+∠FED′=90°，
∴∠FED′=∠GD′C，
∴△EFD′∽△CGD′，
∴$\frac{D′E}{D′C}=\frac{D′F}{CG}$，
∵CG=$\sqrt{D′{E}^{2}-D′{G}^{2}}$，
∵AB=3AM，
∴$\frac{BM}{AB}$=$\frac{DG}{CD}=\frac{DG}{CD′}$=$\frac{2}{3}$，D′F=$\frac{1}{3}$D′C，
∴CG=$\frac{\sqrt{5}}{3}$D′C，∴$\frac{D′E}{DC}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∵DE=D′E=1，
∴D′C=$\sqrt{5}$，
∴CD=$\sqrt{5}$，
∴CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．