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【题目】如图,在RtABC中,BAC=90°,AB=4,AC=3,点D为BC的中点,动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向点B运动,当点P离开点A后,过点P作PEAB交BC于点E,过点E作EFAC于F,设点P运动时间为t(秒),矩形PEFA与ADE重叠部分的面积为S平方单位长度.

(1)PE的长为 (用含t的代数式表示);

(2)求S与t之间的函数表达式;

(3)求S的最大值及S取得最大值时t的值;

(4)当S为ABC面积的时,t的值有 个.

【答案】(1) (4-t).(2) S=(3) (4)4.

【解析】

试题分析:(1)根据EPAC,得,列出比例式即可解决.

(2)分两种情形讨论①如图1中,当0t2时,根据S=EGAP即可计算,②如图2中,当2t4时,根据S=GEAF即可计算.

(3)分两种情形,利用配方法根据二次函数性质即可解决.

(4)分两种情形,列出方程即可解决,注意检验是否符合题意.

试题解析:(1)如图1中,EPAC,

,

PE=(4-t).

(2)①当0t2时,

∵∠BAC=90°,CD=DB,

∴∠DAB=B,∵∠APG=BAC=90°,

∴△APG∽△BAC,

PG=t,

EG=3-t,

S=EGAP=-t2+t.

②当2t4时如图2中,∵∠FAG=C,AFG=BAC,

∴△AFG∽△CAB,

FG=4-t,GE=2t-4,

S=GEAF=-t2+-6.

综上所述S=

(3)当0t2时,S=-(t-1)2+

-0,

t=1时,S最大值为

当2t4时,S=-(t-3)2+

-0,

t=3时,S最大值为

综上所述t=1或3时,S最大值都是

(4)由题意-t2+t=,整理得到5t2-10t+4=0,t=符合题意.

或-t2+t-6=,整理得到5t2-30t+44=0,t=符合题意,

S为ABC面积的时,t的值有四个.

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