【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=3,点D为BC的中点,动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向点B运动,当点P离开点A后,过点P作PE⊥AB交BC于点E,过点E作EF⊥AC于F,设点P运动时间为t(秒),矩形PEFA与△ADE重叠部分的面积为S平方单位长度.
(1)PE的长为 (用含t的代数式表示);
(2)求S与t之间的函数表达式;
(3)求S的最大值及S取得最大值时t的值;
(4)当S为△ABC面积的时,t的值有 个.
【答案】(1) (4-t).(2) S=.(3) .(4)4.
【解析】
试题分析:(1)根据EP∥AC,得,列出比例式即可解决.
(2)分两种情形讨论①如图1中,当0<t≤2时,根据S=EGAP即可计算,②如图2中,当2<t≤4时,根据S=GEAF即可计算.
(3)分两种情形,利用配方法根据二次函数性质即可解决.
(4)分两种情形,列出方程即可解决,注意检验是否符合题意.
试题解析:(1)如图1中,∵EP∥AC,
∴,
∴,
∴PE=(4-t).
(2)①当0<t≤2时,
∵∠BAC=90°,CD=DB,
∴∠DAB=∠B,∵∠APG=∠BAC=90°,
∴△APG∽△BAC,
∴,
∴,
∴PG=t,
∴EG=3-t,
∴S=EGAP=-t2+t.
②当2<t≤4时如图2中,∵∠FAG=∠C,∠AFG=∠BAC,
∴△AFG∽△CAB,
∴,
∴FG=4-t,GE=2t-4,
∴S=GEAF=-t2+-6.
综上所述S=.
(3)当0<t≤2时,S=-(t-1)2+,
∵-<0,
∴t=1时,S最大值为,
当2<t≤4时,S=-(t-3)2+,
∵-<0,
∴t=3时,S最大值为.
综上所述t=1或3时,S最大值都是.
(4)由题意-t2+t=,整理得到5t2-10t+4=0,t=符合题意.
或-t2+t-6=,整理得到5t2-30t+44=0,t=符合题意,
∴S为△ABC面积的时,t的值有四个.
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【题目】点P关于x轴对称点P'的坐标为(4,-5),那么点P关于y轴对称点P''的坐标为( )
A.(4,5)
B.(4,-5)
C.(-4,5)
D.(-4,-5)
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【题目】为了了解某校全体学生参加消防知识竞赛的成绩(均为整数),从中抽取了10%的学生竞赛成绩,整理后绘制如下的频数分布直方图,其中,每组可含量最低值,不含最高值.
根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)求参加消防知识竞赛的学生总人数.
(2)求抽取的部分学生中竞赛成绩在85~90的频率.
(3)如果竞赛成绩在90分以上(含90分)的同学可以获得奖励,请估计该校全体学生中获得奖励的人数.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,过点D作⊙O的切线BC于点M,切点为N,则DM的长为( )
A. B. C. D.
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【题目】2016年宁波市北仑区体育中考的3个选测项目分别是50米跑,一分钟跳绳,篮球运球投篮.另规定:游泳满分的学生,只需从3个选测项目中选择一项进行测试;游泳未得满分或未参加的学生,需从3个选测项目中任选两项进行测试.
(1)小明因游泳测试获得了满分,求他在3个选测项目中选择“一分钟跳绳”项目的概率.
(2)若小红和小慧的游泳测试都未得满分,她们都必须从3个选测项目中选择两项进行体育中考测试,请用列表(或画树状图)的方法,求出小红和小慧选择的两个项目完全相同的概率.
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