Question

8．（1）△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，则BC边上的高为12；
（2）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，点D在AB上，∠ACD=15°，AD=$\sqrt{2}$，则BC=2．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=14-x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出AD的长；
（2）作BE⊥CD于E，作DF⊥AC于F，则∠BEC=∠BED=∠AFD=∠CFD=90°，由等腰三角形的性质求出∠ACB=75°，再求出∠BCE=60°，∠BDE=45°，设CE=x，则BC=2x，BE=DE=$\sqrt{3}$x，得出CD=$\sqrt{3}$x+x，BD=$\sqrt{6}$x，AC=AB=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$x，在Rt△CDF中，由勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出BC．

解答 解：（1）作AD⊥BC于D，如图1所示：
设BD=x，则CD=14-x，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD²=AB²-BD²，AD²=AC²-CD²，
∴AB²-BD²=AC²-CD²，
即15²-x²=13²-（14-x）²，
解得：x=9，
∴BD=9，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-{9}^{2}}$=12；
故答案为：12；
（2）作BE⊥CD于E，作DF⊥AC于F，如图2所示：
则∠BEC=∠BED=∠AFD=∠CFD=90°，
∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，DF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AF=$\sqrt{3}$DF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵∠ACD=15°，
∴∠BCE=75°-15°=60°，∠BDE=30°+15°=45°，
∴∠CBE=30°，△BDE是等腰直角三角形，
∴BC=2CE，BE=DE，
设CE=x，则BC=2x，BE=DE=$\sqrt{3}$x，
∴CD=$\sqrt{3}$x+x，BD=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{6}$x，
∴AC=AB=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$x，
在Rt△CDF中，根据勾股定理得：CF²+DF²=CD²，
即（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$x-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=（$\sqrt{3}$x+x）²，
解得：x=1，
∴BC=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线运用三角函数和勾股定理得出方程才能得出结果．