Question

【题目】在如图14所示的平面直角坐标系中，点C在y轴的正半轴上，四边形OABC为平行四边形，OA＝2，∠AOC＝60°，以OA为直径的⊙P经过点C，交BC于点D，DE⊥AB，交AB于E。

（1）求点A和B的坐标；

（2）求证：DE是⊙P的切线；

(3) 小明在解答本题时，发现连结DA并延长，交x轴于点N，则△AON是等腰三角形．由此，他断定：“x轴上一定存在除点N以外的点Q，使△AOQ也是等腰三角形，且点Q一定在⊙P外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A点坐标为（，1），B点坐标为（，2）（2）证明见解析；（3）不同意。理由见解析.

【解析】试题分析：（1）首先得出，∠ACO=90°，进而利用OA=2，∠AOC=60°，得出OC=1，AC= ，即可得出A点坐标，进而利用平行四边形的性质得出B点坐标；
（2）首先得出四边形OADC为等腰梯形，进而得出△PAD为等边三角形，从而得出∠BAD=∠PDA，以及PD∥AB，即可得出答案；
（3）分别根据①当OA=OQ时，②当OQ=AQ时求出Q点坐标即可；

试题解析：

（1）解：连结AC，

∵　OA为⊙P的直径，

∴　∠ACO＝90°，

又∵　OA＝2，∠AOC＝60°，

∴　OC＝1，AC＝，

∴　A点坐标为（，1），

∵　OABC为平行四边形，

∴　AB＝OC，

∴　B点坐标为（，2）。

（2）证明：连结PD、AD，如图所示：

∵四边形OABC是平行四边形，

∴CD∥OA，

∴弧OC＝弧AD，

∴OC＝AD，

∴四边形OADC为等腰梯形，

∴∠DAO＝∠AOC＝60°，

∵PA＝PD，

∴△PAD为等边三角形，

∴∠PDA＝60°，

∵∠BAO＝180°－60°＝120°，∠DAO＝60°，

∴∠BAD＝60°，　

∴∠BAD＝∠PDA，

∴PD∥AB，

∵DE⊥AB，

∴DE⊥PD，　

∴DE是⊙P的切线。

（3）解：不同意。理由如下:：

①当OA=OQ时，

以点O为圆心，OA为半径画弧交x轴于Q1和Q3两点，

得点Q1（－2,0），Q3（2，0）

②当OQ=AQ时，作OA的中垂线，交x轴于点Q2，

OQ2＝＜，点Q2（，0）。

因此，在x轴上，除了N点外，既存在⊙P内的点Q2，又存在⊙P外的点Q1、Q3，它们分别使△AOQ为等腰三角形。