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【题目】如图,直线y2x2x轴交于点A,与y轴交于点B,把AOB沿y轴翻折,点A落到点C,过点B的抛物线y=-x2bxc与直线BC交于点D(3,-4)

1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式;

2)在抛物线对称轴上求一点P的坐标,使ABP的周长最小;

3)在第一象限内的抛物线上,是否存在一点M,作MN垂直于x轴,垂足为点N,使得以MON为顶点的三角形与BOC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=-2x2y=-x2x2;(2)();(3)存在M(12).

【解析】试题分析:(1)利用直线与坐标轴的交点坐标,求出抛物线的解析式,利用翻折得出点C的坐标,就可求出直线BD的解析式;(2)本题利用路径最短的知识来解决问题;(3)由(1)的解析式设M(a,-a2+a+2),当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时,由相似三角形的性质就可以求出结论.

试题解析:(1)易得A(10)B(02)C(10)

设直线BD对应的函数解析式为ykxm.

B(02)C(10)的坐标分别代入ykxm

解得

直线BD对应的函数解析式为y=-2x2.

抛物线对应的函数解析式为y=-x2bxc.

B(02)D(3,-4)的坐标分别代入y=-x2bxc

解得

抛物线对应的函数解析式为y=-x2x2.

(2)对称轴为:A(-10)关于对称轴的对称点为E2.0,连接BE交对称轴与点P,BE的解析式为:y=-x2 ,x=时,BE对称轴的交点坐标是P().

(3)存在,如图,当MON∽△BCO时,,即MN2ON.ONa,则M(a2a)a2a22a,解得a1=-2(不合题意,舍去)a21M(12)如图,当MON∽△CBO时,,即MNON.ONn,则Mn2n2,解得n1 (不合题意,舍去)n2M()存在这样的点M(12).

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A. A B. B C. C D. D

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