Question

【题目】在△ABC中，∠C＝α．⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均只有一个公共点，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n．

（1）当α＝90°时，AC＝6，BC＝8时，m＝　 　，n＝　 　．

（2）当α取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）．

①如图①，α＝90°；

②如图②，α＝60°．

Answer 1

【答案】（1）2，12；（2）①mn；②mn

【解析】

（1）如图①，设点D，E，F分别是3个切点，连接PD，PE，PF，连接OA，OB，OC，由勾股定理求得斜边AB的长，再由面积法可得m的值，由正方形的性质及切线长定理可得n的值；

（2）①由于α=90°，与（1）中度数相同，故解题思路与（1）相同，仅需要将相关线段用m和n表示；

②连接CP，由切线长定理得∠PCE=30°，由含30°角的直角三角形的性质及面积法，可得答案．

（1）如图①，设点D，E，F分别是3个切点，连接PD，PE，PF，连接OA，OB，OC．

∵AC=6，BC=8，∴AB==10．

∵S△BCA=S△ABO+S△ACO+S△BCO，∴×6×8=×10m+×6m+×8m，∴m=2．

∵CD，CE是⊙P的切线，D、E为切点，∴CD=CE，∠PDC=∠PEC=90°．

∵∠ACB=90°，∴四边形DPEC为正方形，∴n=PD=．

由切线长定理可知，AF=AD，BF=BE，∴n====12；

（2）如图①，由切线的性质，可知PD⊥CD，PE⊥BC，PF⊥AB，PD=PE=PF，设△ABC的面积为S△ABC，周长为C△ABC．

同（1），根据面积法可知m=．

①如图①．

∵n====．

又∵m=，∴S△ABC==mn．

②如图②．

连接CP，由切线长定理得：

CD=CE====．

∵PD⊥CD，PE⊥BC，∴CP平分∠ACB，∴∠PCE=30°，∴n=PE===．

又∵m=，∴S△ABC==mn．