Question

【题目】（1）如图 1，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上．现将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90°，点 B 的对应点为B′，点 C 的对应点为C′， 连接 BB′，如图所示则∠AB′B＝ ．

（2）如图 2，在等边ABC 内有一点 P，且 PA＝2，PB＝ ，PC＝1，如果将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得出△ABP′，求∠BPC 的度数和 PP′的长；

（3）如图3，在中，，，，点O为内一点，连接AO，BO，CO，且，求的值．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）∠BPC＝150°，PP′＝；（3）.

【解析】

（1）根据旋转的性质，得到△ABB’是等腰直角三角形，即可得到答案；

（2）根据旋转的性质，BP=BP’，∠PBP’=60°，则是等边三角形，则，，由利用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，则，即可得到∠BPC；

（3）将△绕点B顺时针旋转至△处，连接，利用直角三角形的性质求出AB，BC，然后利用旋转的性质，得到是等边三角形，然后得到四点共线，然后利用勾股定理求出的长度，即可得到.

解：如图1所示，连接BB'，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，

∴AB=AB'，∠B'AB=90°，

∴∠AB'B=45°．

故答案为：45°；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP'，如图2，

∴AP'=CP=1，BP'=BP=，∠PBC=∠P'BA，∠AP'B=∠BPC．

∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，

∴∠ABP'+∠ABP=∠ABC=60°，

∴△BPP'是等边三角形，

∴PP'=，∠BP'P=60°．

∵AP'=1，AP=2，

∴，

∴，

∴∠AP'P=90°，则△PP'A是直角三角形，

∴；

（3）如图3，将△绕点B顺时针旋转至△处，连接，

在中，，，，

，

，

绕点B顺时针方向旋转，

如图所示；

，

绕点B顺时针方向旋转，得到，

，，，

是等边三角形，

，，

，

，

、O、、四点共线，

在中，，

．