Question

14．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠CBA=90°，点C与坐标原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），一条抛物线经过△ABC三个顶点A、B、C，直线AB与抛物线对称轴交于点Q．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若在A、B两点之间的抛物线上有一个动点P，如图2，连接AP，BP，设点P的横坐标为m，请求出△ABP的面积S关于m的函数关系式；并求出当△ABP的面积最大时，点P的坐标；
（3）若△ABC沿射线BA方向平移，得到△DEF，如图3，若使△AFQ为等腰三角形，请直接写出F的点坐标（点O除外）

Answer 1

分析 （1）作BG⊥x轴于点G，证得△ABC∽△BGC后利用相似三角形对应边的比相等AC=10，从而确定点A的坐标，利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）连接PG，设点P（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{5}{2}$m），利用S=S_△BPG+S_△APG-S_△ABG得到当m=6时，△ABP的面积有最大值，S_最大=16，从而求得P（6，6）；
（3）首先得到直线L的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x，然后设F（n，-$\frac{1}{2}$n），分①点F为顶点、②点A为顶点、③点Q为顶点三种情况分别求得F点的坐标即可；

解答 解：（1）如图所示，作BG⊥x轴于点G，
∵B（2，4），
∴CG=2，BG=4，
∴BC=$\sqrt{O{G}^{2}+B{G}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠CBA=90°，
∴△ABC∽△BGC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CG}{BC}$；
即：$\frac{2\sqrt{5}}{AC}=\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
解得：AC=10，
∴A（10，0），
∴抛物线经过A，B，C三点，点C为原点，
∴设抛物线的解析式为y=ax²+bx，
将A、B点的坐标分别代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{100a+10b=0}\\{4a+2b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{5}{2}$x=-$\frac{1}{4}$（x-5）²+$\frac{25}{4}$；

（2）如图所示，连接PG，设点P（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{5}{2}$m），
则S=S_△BPG+S_△APG-S_△ABG
=$\frac{1}{2}$BG•|x_P-x_B|+$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{5}{2}$m）-$\frac{1}{2}$AG•BG
=$\frac{1}{2}$×4×（m-2）+$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{5}{2}$m）-$\frac{1}{2}$×4×8
=-m²+12m-20
=-（m-6）²+16，
∴当m=6时，△ABP的面积有最大值，S_最大=16，
∴-$\frac{1}{4}$×6²+$\frac{5}{2}$×6=6，
∴P（6，6）；

（3）由（1）可知抛物线的对称轴为x=5，
由A，B两点坐标可求得直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5，
将x=5代入，解得：y=$\frac{5}{2}$，
∴Q（5，$\frac{5}{2}$）
∴AQ=$\sqrt{（10-5）^{2}+（0-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{5}$．
∵△ABC沿BA平移，得△DEF，
∴点F在过原点且平行于AB的直线上，
∴直线L的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x，
∴设F（n，-$\frac{1}{2}$n），
①若点F为等腰三角形的顶点，则QF=AF，
即（n-5）²+（-$\frac{1}{2}$n-$\frac{5}{2}$）²=（n-10）²+（0+$\frac{1}{2}$n）²，
解得：n=$\frac{11}{2}$，
∴F₁（$\frac{11}{2}$，-$\frac{11}{4}$）；
②若点A为等腰三角形的顶点，则AF=AQ．
∴$\sqrt{（n-10）^{2}+（-\frac{1}{2}n-0）^{2}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{5}$
整理得：n²-16n+55=0
解得：n=11或n=5
∴F₂（11，-$\frac{11}{2}$），F₃（5，-$\frac{5}{2}$）；
③若点Q为等腰三角形的顶点，则QF=QA．
∴$\sqrt{{（n-5）}^{2}+{（-\frac{1}{2}n-\frac{5}{2}）}^{2}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{5}$
整理得：n²-6n=0
解得：n=0（舍去）或n=6
∴F₄（6，-3）．
综上所述，满足题意的点F有4个，分别为：F₁（$\frac{11}{2}$，-$\frac{11}{4}$），F₂（11，-$\frac{11}{2}$），F₃（5，-$\frac{5}{2}$），F₄（6，-3）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．