Question

【题目】如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，经过点D的直线EF⊥AB于点E，与AC的延长线交于点F．

（1）直线EF是否为⊙O的切线？并证明你的结论．

（2）若AE＝4，BE＝1，试求cosA的值．

Answer 1

【答案】（1）直线EF是⊙O的切线，证明详见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OD，AD，根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可知D是BC的中点，利用中位线的性质可知OD∥AB，从而可知∠ODE＝∠BED＝90°．

（2）设CF＝a，得出=，则=，解得a＝，可得出答案．

解：（1）EF是⊙O的切线．理由如下：

连接OD，AD，

∵AC是⊙O直径，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴点D是BC的中点，

∵O是AC的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AB，

∵EF⊥AB，

∴∠ODE＝∠BED＝90°，

∵OD是⊙O的半径，

∴EF是⊙O的切线；

（2）由（1）得，OD＝AB＝，

∴AO＝OC＝OD＝，

设CF＝a，

∵OD∥AB，

∴=

∴=，

∴20+8a＝25+5a，

∴a＝，

∴AF＝5+＝，

∴cos∠FAE＝．