Question

如图，二次函数y=ax²+bx-2的图象与x轴的两个交点分别为A（-1，0），B（2，0），与y轴的交点为C，
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P的坐标为（

3

2

，0），求证：PA=PC；
（3）若M是在y轴右侧的二次函数图象上的一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为H，当△CHM∽△AOC（点C与点A对应，点H与点O对应，点M与点C对应）时，求点M的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点A、B的坐标代入二次函数y=ax²+bx-2的解析式求出a、b的值，即可得到二次函数解析式；
（2）由抛物线的解析式为y=x²-x-2，求得C（0，-2），根据A、P的坐标即可求得PA、PC的长，从而证明PA=PC．
（3）根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO．
（i）当点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标；
（ii）当点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx-2图象交x轴于A（-1，0），B（2，0），
∴

a-b-2=0 4a+2b-2=0

解得

a=1 b=-1

．
∴抛物线的解析式为y=x²-x-2；

（2）由抛物线的解析式为y=x²-x-2，则C（0，-2）．
∵P的坐标为（

3

2

，0），A（-1，0），
∴PA=

3

2

+1=

5

2

，PC=

( 3 2 )2+(-2)2

=

5

2

，
∴PA=PC；

（3）∵△CHM∽△AOC，
∴∠MCH=∠CAO．
（i）如图2，当点H在点C上方时．
由（2）知，PA=PC，
∴∠PCA=∠CAP，即∠PCA=∠CAO．
又∵∠MCH=∠CAO，即∠MCA=∠CAO，
∴∠PCA=∠MCH，
∴点M是线段CP的延长线与抛物线的交点．
设直线CM的解析式为y=kx-2（k≠0），
把P（

3

2

，0）代入，得

3

2

k-2=0，
解得，k=

4

3

，则直线CM的解析式是y=

4

3

x-2，
∴

y= 4 3 x-2 y=x2-x-2

，
解得，

x=0 y=-2

（舍去），或

x= 7 3 y= 10 9

，
∴M（

7

3

，

10

9

）；
（ii）如图3，点H在点C下方时．
∵∠MCH=∠CAO，
∴CM∥x轴，
∴y_M=-2，
∴x²-x-2=-2，
解得x₁=0（舍去），x₂=1
∴M（1，-2）．
综上所述，点M的坐标是M（

7

3

，

10

9

）或M（1，-2）．

点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的性质，两函数图象交点的求解方法，综合性较强，难度较大，要注意分情况讨论求解．