Question

已知关于x的二次函数y=x²+（2k-1）x+k²-1，若关于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²-1=0的两根的平方和等于9，求k的值及抛物线的顶点坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：利用根的判别式△≥0，求出k的取值范围，再利用根与系数的关系即可得出k的值，从而求出二次函数的顶点坐标．

解答：解：∵关于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²-1=0有2个根，
∴根的判别式△≥0，
即（2k-1）²-4（k²-1）≥0，
解得k≤

5

4

；
设方程的两个根分别为x₁、x₂，
则x₁²+x₂²=9，
即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9，
又x₁+x₂=-（2k-1），x₁•x₂=k²-1，
分别代入上式，
解得k₁=-1或k₂=3，
∵k≤

5

4

，
∴k=-1．
代入函数式中，得y=x²-3x，
配方可得y=（x-

3

2

）²-

9

4

，
即抛物线的顶点坐标为（

3

2

，-

9

4

）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，此题对一元二次方程考查知识较多，二次函数与一元二次方程结合是比较典型题目，同学们应注意它们之间的区别于联系．