如图1.在菱形ABCD中.对角线AC与BD相交于点O.AB=13.BD=24.在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点.将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM.连接FM．(1)求AO的长,(2)如图2.当点F在线段BO上.且点M.F.C三点在同一条直线上时.求证:∠ACM=30°,(3)连接EM.若△AEM的面积为40.请画出图形.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B、D重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．
（1）求AO的长；
（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：∠ACM=30°；
（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请画出图形，并直接写出△AFM的周长

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）在RT△OAB中，利用勾股定理OA=

AB2-OB2

求解．
（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，∠M=∠AFM=60°，再求出∠MAC=90°，可得∠ACM=30°．
（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF=

AO2+FO2

52+42

，得出△AFM的周长为3

．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=

BD，
∵BD=24，
∴OB=12，
在Rt△OAB中，
∵AB=13，
∴OA=

AB2-OB2

132-122

=5．

（2）证明：如图2，

∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，
由已知AF=AM，∠MAF=60°，
∴△AFM为等边三角形，
∴∠M=∠AFM=60°，
∵点M，F，C三点在同一条直线上，
∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°，
∴∠FAC=∠FCA=30°，
∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，
在Rt△ACM中，∠ACM=180°-90°-60°=30°．

（3）解：如图3，连接EM，

∵△ABE是等边三角形，
∴AE=AB，∠EAB=60°，
由（1）知△AFM为等边三角形，
∴AM=AF，∠MAF=60°，
∴∠EAM=∠BAF，
在△AEM和△ABF中，

AE=AB

∠EAM=∠BAF

AM=AF

，
∴△AEM≌△ABF（SAS），
∵△AEM的面积为40，△ABF的高为AO
∴

BF•AO=40，BF=16，
∴FO=BF-BO=16-12=4，
AF=

AO2+FO2

52+42

，
∴△AFM的周长为3

．

点评：本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质及菱形的性质．

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