Question

如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（2，3）．
（1）求出直线AB的解析式；
（2）点P是直线AB上的一个动点，在平面直角坐标系内，是否存在另一个点Q，使得以A，O，P，Q为顶点的四边形是菱形（AP为其中一个边）？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分类讨论：菱形APQO，菱形APOQ，根据菱形的四边相等，可得答案．

解答：解：（1）设函数解析式为y=kx+b，函数图象经过点A、B，得

b=4 2k+b=3

，
解得

k=- 1 2 b=4

．
故直线AB的解析式是y=-

1

2

x+4；
（2）设P点坐标是（x，-

1

2

x+4），
①菱形APQO，得AP=PQ=QO=AQ=4，
即x²+（-

1

2

x+4-4）²=16，
解得x₁=

8 5

5

或x=-

8 5

5

，
y₁=-

4 5

5

+4，y₂=

4 5

5

+4
P₁（

8 5

5

，-

4 5

5

+4），P₂（-

8 5

5

，

4 5

5

+4）．
P₁Q₁=4，P₁Q₁∥y轴，得
Q₁（

8 5

5

，-

4 5

5

）．
P₂Q₂=4，P₂Q₂∥y轴，得
Q₂（-

8 5

5

，

4 5

5

）．
②菱形APOQ，AP=OP=PQ=AQ，
PQ在AO的垂直平分线上，得
P₃、Q₃的纵坐标是2．
当y=2时，-

1

2

x+4=2，解得x=4，P₃（4，2）．
P₃、Q₃关于y轴对称，Q₃（-4，2）；
综上所述：Q₁（

8 5

5

，-

4 5

5

），Q₂（-

8 5

5

，

4 5

5

），Q₃（-4，2）．

点评：本题考查了一次函数综合题，利用了待定系数法求解析式，利用了菱形的性质：菱形对边平行，菱形的四边相等．