Question

如图，位于同一平面内的正△ABC、正△CDE和正△EHK（顶点依逆时针方向排列），两两地有公共点C和E，且D是AK的中点，求证：△BHD也是正三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,旋转的性质

专题：证明题

分析：由于△ABC、△CDE都是正三角形，根据旋转的性质可知，将△CAD绕点C逆时针旋转60°，到达△CBE的位置，那么AD=BE，且AD、BE之间的夹角等于60°，因为D是AK的中点，所以DK=AD=BE，再由△EHK是正三角形，根据旋转的性质将△HBE绕H顺时针旋转60°，到达△HDK的位置，于是HB=HD，∠BHD=60°，根据一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得到△BHD是正三角形．

解答：证明：∵△ABC、△CDE都是正三角形，
∴将△CAD绕C点逆时针旋转60°，得到△CBE，
∴AD=BE，且AD、BE夹角为60°．
∵AD=DK，
∴DK=AD=BE，且DK、BE的夹角是60°．
又∵△EHK是正三角形，
∴将△HBE绕H顺时针旋转60°，点E转到K，线段EB与KD重合，即B转到D，
∴HB=HD，∠BHD=60°，
∴△BHD是正三角形．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．同时考查了等边三角形的判定与性质，难度适中．本题还可以利用全等三角形的判定与性质证明出HB=HD，∠BHD=60°，进而得出△BHD是正三角形．