Question

2．如图所示，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于F．
（1）请猜测OE与OF的大小关系，并说明你的理由；
（2）点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程；
（3）点O运动到何处且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（写出结论即可）

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，得出EO=CO，FO=CO，即可得出结论；
（2）先证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论；
（3）由（2）得出四边形AECF是矩形，再由平行线得出AC⊥EF，得出四边形AECF是菱形，即可得出结论．

解答 解：（1）猜想：OE=OF，理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO．
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，
即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形；理由如下：
∵由（2）得：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵MN∥BC，当∠ACB=90°时，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∴四边形AECF是正方形．

点评 本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行线的性质和矩形、菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．