练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    20．（1）如图1，等腰Rt△ABO放在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别是A（0，1），B（1，0）．在x轴正半轴上取D（m，0），在AD右上方作等腰Rt△ADE，∠ADE=90°．
    ①求出E点的坐标（可用含m的代数式表示）；
    ②证明对于任意正数m，点E都在直线y=x-1上；
    （2）将（1）中的两个等腰直角三角形都改为有一个角为30°的直角三角形，如图2，A（0，$\sqrt{3}$），B（1，0）．Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠AED=60°．D（m，0）是x轴正半轴上任意一点，则不论m取何正数，点E都在某一条直线上，请求出这条直线的函数关系式；
    （3）将（2）中Rt△AOB保持不动，取点C（2，$\sqrt{3}$），在x轴正半轴上取D（m，0）（m＞2），然后在AD右上方作Rt△CDE，∠CDE=90°，∠CED=60°．当m取不同值时，点E是否还是总在一条直线上？若是，请求出直线对应的函数关系式，若不是，请说明理由．

    分析 （1）①过E作EH⊥x轴于H，可证明△AOD≌△DHE，可求得DH、EH、DO，可表示出E点坐标；②把E点坐标代入满足直线解析式，即可证得结论；
    （2）过E作EH⊥x轴于H，可证明△AOD∽△DHE，利用相似三角形的性质可求得DH、EH，可得出E点坐标，则可得出过E点的直线的解析式；
    （3）根据题意可将Rt△AOB右移两个单位，得Rt△CFG，把（2）的直线向右平移两个单位即可得到满足条件的直线．

    解答 解：（1）①过E作EH⊥x轴于H，如图1，

    在等腰Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=DE，
    ∵∠AOB=90°，
    ∴∠OAD+∠ADO=∠EDH+∠ADO=90°，
    ∴∠OAD=∠EDH，
    在△AOD和△DHE中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠EDH}\\{∠AOD=∠DHE}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
    ∴△AOD≌△DHE（AAS），
    ∴DH=AO=1，EH=DO=m，
    ∴E（m+1，m）；
    ②证明：
    当x=m+1时，y=x-1=m+1-1=m，
    ∴不论m取何值，E都在直线y=x-1上
    （2）过E作EH⊥x轴于H，如图2，

    在Rt△ADE中，∠ADE=90°，
    ∵∠AOB=90°，
    ∴∠OAD=∠EDH，∠ADO=∠DEH，
    ∴△AOD∽△DHE，
    ∴DH：AO=EH：OD=DE：AD=1：$\sqrt{3}$，
    ∴DH=1，EH=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$，
    ∴E（m+1，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$），$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
    （3）将Rt△AOB右移两个单位，得Rt△CFG，如图3，

    根据（2）的解答，把（2）中的直线右移两个单位即可．
    所以所求直线解析式为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\sqrt{3}$，
    即当m取不同值时，点E总在一条直线上．

    点评 本题主要考查一次函数的综合应用，涉及知识点有全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、求函数解析式等．在（1）中作出垂直求得线段的长是解题的关键，在（2）中证明三角形相似求得线段的长是解题的关键，在（3）中利用好（2）的结论是解题的关键．本题知识点较多，难度较大，综合性较强．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    10．以AB为⊙O的直径，洋洋以点A为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，连接BC，BD，CD，根据洋洋的做法，可判断△BCD是等边三角形．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    11．已知关于x的一元二次方程x2-2（m-1）x-m（m+2）=0．
    （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
    （2）若x=-2是此方程的一个根，求实数m的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    8．如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将标有“1”的这个正方体移走后，所得几何体（　　）
    A．俯视图改变，左视图改变B．主视图改变，左视图不变
    C．俯视图不变，主视图不变D．主视图不变，左视图改变

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    15．如图，Rt△ABC的斜边AB经过坐标原点，两直角边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，若点A的纵坐标为$-\frac{7}{2}$，若点B的横坐标为-2，则k的值为7．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    5．以下问题，不适合用全面调查的是（　　）
    A．了解全班同学每周体育锻炼的时间B．学校招聘教师，对应聘人员面试
    C．了解重庆庆中小学生每天的零花钱D．旅客上飞机前的安检

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    12．在-1，-2，0，3这四个数中，最小的是（　　）
    A．-1B．-2C．0D．3

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    9．一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2=-2．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    10．若一个反比例函数的图象经过点（2，3），则该反比例函数的图象也经过点（-3，-2）．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案