Question

15．如图，正方形ABCD中，AE=EF=FB，BG=2CG，DE，DF分别交AG于P和Q，以下说法中正确的是（　　）
①AG⊥FD；②AQ：QG=6：7；③EP：PD=2：11；④S_GCDQ：S_BGQF=17：9．

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①②③
• D． ①②④

Answer 1

分析 先用SAS证明两个三角形全等，得到对应的角相等，证明①正确．根据两角对应相等，证明两三角形相似，分别用含a的式子表示AQ和QG，求出它们的比值，证明②正确．用相似三角形的对应线段的比相等，求出EP：PD的值，证明③不正确．分别用含a的式子表示两个四边形的面积，求出它们的比值，证明④正确．

解答 解：①∵AD=BA，∠DAF=∠ABC=90°，AF=BG=$\frac{2}{3}$BC．
∴△DAF≌△ABG，
∴∠DFA=∠AGB，
∵∠AGB+∠BAG=90°，
∴∠BAG+∠DFA=90°，
∴AG⊥FD．
所以①正确．

②设AE=EF=FB=a，则BG=2a，AG=$\sqrt{13}$a．
由①可得：△AFQ∽△AGB，
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AF}{AG}$，AQ=$\frac{AB•AF}{AG}$=$\frac{3a•2a}{\sqrt{13}a}$=$\frac{6a}{\sqrt{13}}$．
QG=AG-AQ=$\sqrt{13}$a-$\frac{6a}{\sqrt{13}}$=$\frac{7a}{\sqrt{13}}$．
AQ：QG=6：7．
所以②正确．

③如图1，延长AG，DC相交于H，则△ABG∽△HCG，
设AE=EF=FB=a，BG=2a，GC=a，得到CH=$\frac{3}{2}$a．
又△AEP∽△HDP，
∴$\frac{EP}{PD}$=$\frac{AE}{HD}$=$\frac{a}{3a+\frac{3}{2}a}$=2：9，而不是2：11．
所以③不正确．

如图2，连接FG，DG．
设AE=EF=FB=a，BG=2a，GC=a，DC=3a，
由△AFQ∽△AGB，得：$\frac{FQ}{BG}$=$\frac{AQ}{AB}$，FQ=$\frac{BG•AQ}{AB}$=$\frac{2a•\frac{6a}{\sqrt{13}}}{3a}$=$\frac{4a}{\sqrt{13}}$，
∴DQ=DF-FQ=$\sqrt{13}$a-$\frac{4a}{\sqrt{13}}$=$\frac{9a}{\sqrt{13}}$．
∵S_{四边形GCDQ}=S_△GCD+S_△GQD=$\frac{1}{2}$GC•CD+$\frac{1}{2}$GQ•QD=$\frac{1}{2}$a•3a+$\frac{1}{2}$•$\frac{7a}{\sqrt{13}}$•$\frac{9a}{\sqrt{13}}$=$\frac{51{a}^{2}}{13}$．
S_{四边形BGQF}=S_△FBG+S_△FQG=$\frac{1}{2}$BG•BF+$\frac{1}{2}$FQ•GQ=$\frac{1}{2}$a•2a+$\frac{1}{2}$•$\frac{4a}{\sqrt{13}}$•$\frac{7a}{\sqrt{13}}$=$\frac{27{a}^{2}}{13}$．
∴S_{四边形GCDQ}：S_{四边形BGQF}=17：9．
所以④正确．
故选：D．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是根据正方形的性质可以得到三角形全等或相似，然后用全等或相似的性质进行计算或证明，得到正确的结论．